8月15日 题目二解答说明

# 定义被积函数
f1(x, y) = sin(x) * sqrt(y) + x

# 先对x积分（内层积分）
function integrate_x(y)
    n = 1000  # 分成1000段
    dx = 1.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        x = (i - 0.5) * dx  # 中点法
        sum += f1(x, y) * dx
    end
    return sum
end

# 再对y积分（外层积分）
function integrate_y()
    n = 1000
    dy = 2.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        y = (i - 0.5) * dy
        sum += integrate_x(y) * dy  # 调用内层积分
    end
    return sum
end

# 定义被积函数
f2(x, y, z) = y * sin(x) + z * cos(x)

# 最内层：对z积分
function integrate_z(x, y)
    n = 1000
    dz = 2.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        z = -1.0 + (i - 0.5) * dz  # z从-1到1
        sum += f2(x, y, z) * dz
    end
    return sum
end

# 中间层：对y积分
function integrate_y_triple(x)
    n = 1000
    dy = 1.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        y = (i - 0.5) * dy
        sum += integrate_z(x, y) * dy  # 调用z积分
    end
    return sum
end

# 最外层：对x积分
function integrate_x_triple()
    n = 1000
    dx = pi / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        x = (i - 0.5) * dx
        sum += integrate_y_triple(x) * dx  # 调用y积分
    end
    return sum
end

# 定义指示函数：点在圆内返回1，否则返回0
function indicator_circle(x, y)
    if x^2 + y^2 <= 4
        return 1.0
    else
        return 0.0
    end
end

# 理论计算
circle_area = pi * 4      # 圆的面积 = π * 2²
rectangle_area = 4        # 矩形面积 = 2 * 2
probability = circle_area / rectangle_area  # 概率 = π

# 数值积分验证
function integrate_prob_y(x)
    n = 1000
    dy = 2.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        y = (i - 0.5) * dy
        sum += indicator_circle(x, y) * dy
    end
    return sum
end

function integrate_prob()
    n = 1000
    dx = 2.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        x = (i - 0.5) * dx
        sum += integrate_prob_y(x) * dx
    end
    return sum
end

# 8月15日 题目二解答 - 积分计算
# --- 第一个二重积分 ---
println("1. 计算二重积分：∫₀²∫₀¹((sin x)•√y + x)dxdy")

# 定义被积函数 f(x, y) = sin(x) * √y + x
f1(x, y) = sin(x) * sqrt(y) + x

# 使用简单的数值积分方法
function integrate_x(y)
    # 对 x 从 0 到 1 积分
    n = 1000  # 分割数
    dx = 1.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        x = (i - 0.5) * dx  # 中点法
        sum += f1(x, y) * dx
    end
    return sum
end

function integrate_y()
    # 对 y 从 0 到 2 积分
    n = 1000  # 分割数
    dy = 2.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        y = (i - 0.5) * dy  # 中点法
        sum += integrate_x(y) * dy
    end
    return sum
end

integral1 = integrate_y()
println("第一个二重积分的结果: ", integral1)
println()

# --- 第二个三重积分 ---
println("2. 计算三重积分：∫₀^π∫₀¹∫₋₁¹(y sin x + z cos x)dxdydz")

# 定义被积函数 f(x, y, z) = y * sin(x) + z * cos(x)
f2(x, y, z) = y * sin(x) + z * cos(x)

function integrate_z(x, y)
    # 对 z 从 -1 到 1 积分
    n = 1000  # 分割数
    dz = 2.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        z = -1.0 + (i - 0.5) * dz  # 中点法
        sum += f2(x, y, z) * dz
    end
    return sum
end

function integrate_y_triple(x)
    # 对 y 从 0 到 1 积分
    n = 1000  # 分割数
    dy = 1.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        y = (i - 0.5) * dy  # 中点法
        sum += integrate_z(x, y) * dy
    end
    return sum
end

function integrate_x_triple()
    # 对 x 从 0 到 π 积分
    n = 1000  # 分割数
    dx = pi / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        x = (i - 0.5) * dx  # 中点法
        sum += integrate_y_triple(x) * dx
    end
    return sum
end

integral2 = integrate_x_triple()
println("第二个三重积分的结果: ", integral2)
println()

# --- 概率计算 ---
println("3. 概率计算：点(X,Y)落在以原点为圆心，半径为2的圆内部的概率")

# 矩形区域 R: X ∈ [0, 2], Y ∈ [0, 2]
# 圆的方程: x² + y² ≤ 4

# 定义指示函数：如果点在圆内返回1，否则返回0
function indicator_circle(x, y)
    if x^2 + y^2 <= 4
        return 1.0
    else
        return 0.0
    end
end

# 计算圆与矩形的交集面积
# 由于圆的半径是2，圆心在(0,0)，矩形在[0,2]×[0,2]
# 所以圆完全包含在矩形内，交集面积就是圆的面积

# 圆的面积 = π * r² = π * 4 = 4π
circle_area = pi * 4

# 矩形的面积 = 2 * 2 = 4
rectangle_area = 4

# 概率 = 圆的面积 / 矩形的面积
probability = circle_area / rectangle_area

println("圆的面积: ", circle_area)
println("矩形的面积: ", rectangle_area)
println("概率 P(A) = ", probability)
println("概率 P(A) ≈ ", round(probability, digits=6))

# 也可以用数值积分验证
function integrate_prob_y(x)
    # 对 y 从 0 到 2 积分
    n = 1000  # 分割数
    dy = 2.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        y = (i - 0.5) * dy  # 中点法
        sum += indicator_circle(x, y) * dy
    end
    return sum
end

function integrate_prob()
    # 对 x 从 0 到 2 积分
    n = 1000  # 分割数
    dx = 2.0 / n
    sum = 0.0
    for i in 1:n
        x = (i - 0.5) * dx  # 中点法
        sum += integrate_prob_y(x) * dx
    end
    return sum
end

prob_numerical = integrate_prob() / rectangle_area
println("数值积分验证的概率: ", prob_numerical)