模型信号数字化 — 教学案例库

本案例库通过 Syslab Julia 与 Sysplorer（Modelica 物理建模 + Sysblock 框图建模）演示信号数字化的完整流程——连续信号、理想采样、量化、量化噪声与信号重建，覆盖从物理模型到数字系统的全过程，是信号与系统、数字信号处理与嵌入式系统建模的完整教学案例集合。

适用课程、行业与场景

本案例库适用于信号与系统、数字信号处理（DSP）、通信原理、嵌入式系统建模、系统建模与仿真、自动控制原理、机电系统与多学科仿真等课程教学；面向电子信息、通信、仪器仪表、嵌入式与工业控制、汽车电子等行业的研发与教学人员；可用于采样定理与混叠现象的直观演示，量化与量化噪声（SQNR）的教学讲解，连续/离散系统转换与 ADC/DAC 链路的实验教学，以及从物理模型到数字系统的完整数字化流程演练等场景。

案例库结构

signal_digitization_case_library/
├── README.md                             # 本文件 — 总索引
├── docs/                                 # 教学理论文档
│   ├── teaching_guide.md                 # 教学使用指南
│   ├── theory_sampling.md                # 采样定理与混叠理论
│   └── theory_quantization.md            # 量化理论
│
├── 01_pure_julia_principles/             # 场景1：纯 Julia 信号数字化原理演示
│   ├── 01_continuous_signals.jl          #   连续信号生成
│   ├── 02_ideal_sampling.jl              #   理想采样与 Nyquist 定理
│   ├── 03_aliasing_demo.jl               #   混叠现象演示
│   ├── 04_quantization.jl                #   均匀量化与量化误差
│   ├── 05_quantization_noise.jl          #   量化噪声统计特性
│   ├── 06_reconstruction.jl              #   信号重建（ZOH/FOH/sinc）
│   └── 07_full_pipeline.jl               #   完整 ADC→DAC 流水线
│
├── 02_modelica_to_digital/               # 场景2：Modelica 物理模型 → 数字化
│   ├── models/                           #   Modelica 源文件
│   │   ├── MassSpringDamper.mo            #     弹簧振子模型
│   │   └── RCCircuit.mo                   #     RC 电路模型
│   └── julia_scripts/                    #   Julia 处理脚本
│       ├── 01_simulate_msd.jl             #     仿真并导出连续信号
│       ├── 02_digitize_msd.jl             #     采样 + 量化处理
│       └── 03_compare_reconstruction.jl   #     参数对比重建
│
└── 03_sysblock_digital_system/           # 场景3：Sysblock 框图数字化系统
    └── models/
        └── SignalDigitizationChain.mo     #   ADC 链路框图模型

三场景概述

场景	核心知识点	所需工具
场景1 纯 Julia 原理	采样定理、量化、重建、频谱分析	Syslab Julia
场景2 Modelica → 数字化	物理建模、连续/离散转换、参数对比	Sysplorer + Syslab
场景3 Sysblock 框图	框图建模、ADC/DAC 链路、混叠演示	Sysplorer Sysblock

核心技术知识点

采样与 Nyquist 定理

连续信号 $x_c(t)$ 经理想采样后，频谱以采样频率 $f_s$ 为周期延拓：

X_s(f) = f_s \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_c(f - k f_s)

Nyquist–Shannon 采样定理：若带限信号最高频率为 $f_{\max}$ ，当采样频率满足 $f_s > 2f_{\max}$ 时，可由采样值唯一重建原始信号； $f_s/2$ 称为 Nyquist 频率。

混叠（Aliasing）

当 $f_s \le 2f_{\max}$ 时频谱延拓发生重叠，高频分量"折叠"到低频：

f_{\text{alias}} = |f - k f_s|

例如采样率 100 Hz、输入 80 Hz（不满足 Nyquist）会混叠成 $|80-100|=20$ Hz。实际 ADC 前须放置截止频率 ≤ $f_s/2$ 的抗混叠低通滤波器。

量化与量化噪声

量化把连续幅值映射到 $M=2^B$ 个离散电平（ $B$ 为位数），量化步长 $\Delta = V_{\text{FS}} / 2^B$ 。在加性白噪声模型下，量化误差均匀分布于 $[-\Delta/2, \Delta/2]$ ，噪声功率为：

\sigma_{e_q}^2 = \frac{\Delta^2}{12}

满幅正弦输入下信号量化噪声比为经典经验公式：

\text{SQNR}_{\text{dB}} = 6.02B + 1.76\ \text{dB}

即每增加 1 bit，SQNR 提升约 6 dB。

信号重建

采样值经理想低通滤波可重建连续信号，等价于 sinc 插值：

x_c(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_c(nT_s) \cdot \text{sinc}\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right)

实际常用零阶保持（ZOH）、一阶保持（FOH）近似，场景 1 的 06_reconstruction.jl 对三种方式做了对比。

场景详情

场景1：纯 Julia 原理（01_pure_julia_principles）

7 个 .jl 脚本依次覆盖连续信号生成、理想采样、混叠演示、均匀量化、量化噪声统计、信号重建与完整 ADC→DAC 流水线，使用 TyPlot、TyMathFFT、TyFixedPoint 完成信号生成、FFT 频谱分析与定点量化，全程在 Syslab 中运行。

场景2：Modelica → 数字化（02_modelica_to_digital）

用 Modelica 标准库组件搭建连续物理模型，仿真导出连续信号后再用 Julia 脚本做采样、量化与重建对比：

模型	系统	运动/微分方程	关键参数
`MassSpringDamper.mo`	二阶机械系统	m·ẍ + d·ẋ + c·x = F_ext	m=1 kg, c=100 N/m, d=2 N·s/m（ω_n=10 rad/s，ζ=0.1 欠阻尼）
`RCCircuit.mo`	一阶电气系统	R·C·dv_C/dt + v_C = v_s	R=1000 Ω, C=100 μF（τ=RC=0.1 s）

配套脚本 01_simulate_msd.jl（仿真导出）、02_digitize_msd.jl（采样+量化）、03_compare_reconstruction.jl（采样率 × 位数的 MSE 网格对比）。

场景3：Sysblock 框图数字化系统（03_sysblock_digital_system）

SignalDigitizationChain.mo 是一个完整的 ADC 链路框图模型，含 4 条信号路径：

主 ADC 链路：5 Hz 正弦 → ZOH(100 Hz 采样) → 量化(16 级，步长 0.125) → DAC 重建 → 示波器，展示正确数字化结果。
低速率对比链路：同源 → ZOH(8 Hz，低于 Nyquist 2×5 Hz) → 量化(8 级) → 示波器，演示欠采样混叠。
量化误差观测：ZOH 输出与量化输出之差送入示波器，量化误差应在 ±步长/2 内。
原始参考：正弦源直连示波器，作为全部对比的基准。

运行要求

Syslab 2026a 及以上
Sysplorer 2026a（场景 2、3 需要）
已安装 Ty 工具箱：TySignalProcessing、TyDSPSystem、TyFixedPoint、TyPlot、TyMath、TyMathFFT

依赖包

包名	用途
`TySignalProcessing`	采样率转换、滤波、信号生成
`TyDSPSystem`	DSP 系统对象（信号源、滤波器）
`TyFixedPoint`	定点量化器（quantizer）
`TyPlot`	绘图可视化
`TyMath` / `TyMathFFT`	基础数学运算与 FFT 频谱分析